Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{18 x - 27} = x + 3$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{18 x - 27}}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{18 x - 27}$ como ${(18 x - 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(18 x - 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(18 x - 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(18 x - 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(18 x - 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(18 x - 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(18 x - 27)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$18 x - 27 = {(x + 3)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(x + 3)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$18 x - 27 = (x + 3) (x + 3)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$18 x - 27 = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$18 x - 27 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$18 x - 27 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$18 x - 27 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Paso 2.3.1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$18 x - 27 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$18 x - 27 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$18 x - 27 = x^{2} + 6 x + 9$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 6 x + 9 = 18 x - 27$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $18 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 6 x + 9 - 18 x = - 27$

Paso 3.2.2

Resta $18 x$ de $6 x$ .

$x^{2} - 12 x + 9 = - 27$

Paso 3.3

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 12 x + 9 + 27 = 0$

Paso 3.4

Suma $9$ y $27$ .

$x^{2} - 12 x + 36 = 0$

Paso 3.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.5.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x^{2} - 12 x + 6^{2} = 0$

Paso 3.5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Paso 3.5.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2} = 0$

Paso 3.5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Paso 3.6

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.7

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$